冯跃峰

如何学好数学？这是一个非常广泛的话题。尽管学习方法因人而异，但还是可以归纳出一些共性的原则。

我们这里介绍的方法，就适合每一个同学（包括高考与竞赛两个方面）。其方法可简单地概括为：

“过三关”（建立三个支点）、“闯六隘”（把握六个环节）、“练三招”（掌握三个模式）。

一、把握数学与其它学科的3个差别（建立3个支点，过3关）

也许大家心中一直藏着这样一个疑惑：为什么有些文科学得很好的同学却学不好数学？这是数学与文科之间至少存在的以下3大差别所致，因而我们不能用与学习文科的方法去学习数学。

1、论证的差别（学会数学论证方式，过“推理”关）

文科的论证，只需罗列各种理由即可。比如有这样一道问答题：“苏联为什么会解体？”你可能会作这样的分析：一是历史的原因，二是现时的原因，三是外部的原因，四是内部的原因等等。对每一个原因，你又可从政治、经济、文化、宗教信仰、民族风格等方面进行论述，你还可列举一些典型事件、代表人物等等。总而言之，你是将诸多原因罗列在一起，然后导出苏联解体的结论。

而数学的论证则不是这样，比如有这样一个数学题目：为什么三角形的内角和为180°？则你不能这样回答：一是因为三角形有3条边，二是因为这3条边两两相接，三是因为它们两两相接形成了3个角，所以三角形的内角和为180°。

由此可见，数学的证明，并不是将所有条件罗列在一起，然后推出结论。这就是数学论证与文科论证的根本差别。

那么数学的论证又是怎样进行的呢？对此，我们在这里不可能也没有必要作全面的评述，因为数学老师在课堂上都有介绍。但值得强调的是，数学论证区别于其他学科的一个重要方面是“经得起断章取义”。

文学作品是不允许断章取义的，这大家都非常清楚，但为了便于说明问题，我想讲2个小故事。

第一个小故事，说的是某次聚会，汇集了不少社会名流。席间，一位画家向一位京剧表演艺术家敬酒，说道：“我是小人，你是君子。”大家一时不解何意，气氛顿时显得有点凝重。此时，只见画家不紧不慢地笑着解释道：“君子动口，小人动手啊。”话音一落，大家都开怀大笑。

第二个小故事，说的是我国著名画家齐白石老人八十九岁寿诞，众人庆贺，有人提议每人致一句祝酒词。只见其中一位起身说到：“白石老人不是人。”话音一落，众人大惊失色，白石老人的脸色也沉了下来。只见那人紧接着说：“是天上下凡的老寿星。”大家一听，疑虑顿失，白石老人也抚须而笑。

显然，在这2个小故事中，若只摘取所说话的前半句，则会给人以误导，而这种误导手法在法庭辩论中最为常见。比如，律师可以这样问那位祝酒者：“你是否说过‘白石老人不是人’？你只须回答‘是’或‘不是’。”则祝酒者就有口难辩了。由此可见，这种形式的幽默常常存在着潜在的危险，因为它给那些别有用心的人留下了把柄。

那么，数学推理要“经得起断章取义”是什么含义呢？我们可想象如下一个的情景，这在我们身边也许是经常发生的。

学生：因为有A，所以有B。

老师：由A可以推出B吗？我给你举个反例！

学生：因为题目中还有条件C啊！

老师：正因为如此，你就得运用这个条件啊！

上述情景说明，数学推理必须遵循的一个原则：数学推理的每一个局部范围都必须独立地成立，因而推理中不能默认题目中的条件或前面推出的结论。也就是说，不论你摘取任何一个局部，它都是对的！

实际上，数学的每个定理、性质、公式、法则，其实质就是明确规定由谁只能推出谁，一切推理片段都必须有其中之一作保证。它决不允许象文科那样，将所有条件罗列在一起，然后写出结论。

如果可以那样做，则数学证明题就不需要证明了，人人都能得满分，是因我有这样一个“万能证题法”：因为有A，又因为有B，…（罗列题中的所有条件），结合定理C，所以结论P成立。

有的学生给出这样的“证明”后还振振有词：“老师，你说我的证明有问题？你能举出反例说明我的证明不对吗？”

老师确实没有办法举出反例，因为既然是证明题，结论必定是对的，无法举出反例。所谓的解答“有问题”，是指推理过程不严谨。

大家可能注意到这样的现象：在小学尤其是低年级阶段，同班学生的成绩基本上没有多少差别，这是因为低年级的数学只涉及到计算而没有数学推理，一旦出现需要运用知识进行推理，学生的能力差异就凸显出来了。因此，我们认为，要学好数学，首先要过好推理关，它是学习数学的第一个支点。

数学中究竟应如何进行推理？经得起断章取义是一个基本原则。具体地说，就是推理中的每一个“所以…”的论断，都必须有充足的依据：或者是某个定理保证，或者是某个法则保证，或者是某种性质（如等式、不等式的基本性质，分式的基本性质等）保证。而且在子范围内，独立形成一个完整的推理。

2、语言的差别（理解数学语言，过“符号”关）

文科的语言是我们早已熟悉的常规语言，因而运用起来轻车熟路，得心应手。而数学则不是这样，为了简化复杂的表述，数学总是用一些特定的符号来表示特定的含义。所以我们说，数学是符号的科学，因为它的语言充满着符号。

数学的每一个符号就是它的一个语言单元，包含了非常丰富的内容。

比如你见到这样一个符号：，你熟悉它表示什么含义吗？如果你仅仅记住了=1.414…，则你并没有理解和掌握这一符号。

实际上，表达了这样两层含义。一方面，它是那样的一个数，这个数同时满足2个条件：（i）它的平方为2；（ii）它不小于0。

另一方面，它又表示一种运算：对2求算术平方根（也就是求满足上述两个条件的数）。由于这个数用有限小数表示都是近似值，所以将其运算结果也用表示。

一般地，既表示一个运算，又表示一个运算的结果（当它不能化简时）。

所以，从运算的角度看，隐含有a≥0；从运算的结果看，隐含有≥0。

如果你这样把握了符号的意义，就绝不会出现诸如=±3的错误了。

我们再讲一个更为抽象的符号f（x），实际上，这个符号不过是符号的推广。如果你真正理解了的意义，而且掌握了数学用符号表达思想的基本方式，那么符号f（x）也就不难理解了。

实际上，f（x）也是指一个那样的数，它是x按照法则f（运算）得到的一个数，即 x→f（x）。这个数f（x）叫做x的函数，简称函数f（x）。

如果将这个数f（x）记为y，便得到函数y=f（x）。

所以函数的实质，是指f（x）或y，而不是指等式y= f（x）。

但f（x）究竟是什么，在具体的问题中须给出明确的规定，因而就有了诸如

f（x）=x -1，f（x）=+2 等等。

这里实际上就是规定了f的具体意义（想一想：你能说出函数f（x）=+2 与 y=+2 有何区别吗？也就是说，其表现形式各有什么优劣？）。

此外，数学语言还有另一个特点，那就是不能用口语化的描述代替数学论述。

比如，有同学喜欢用这种常规语言描述方式进行证明：“如果a为正数，那么把a和3相加，就会得到一个比3大的数，这样就不行。”

上面这段话，改用数学语言，应该这样表述：若a>0，则a+3>3，与…矛盾。

怎样才能掌握好数学语言，主要有这样两个方面：一是要善于将符号语言翻译成常规语言去理解，二是要善于将常规语言对问题的认识翻译成符号语言去进行数学推理。

这两个方面都离不开数学符号，只有理解和掌握了数学符号，才能真正理解和掌握数学。反之，如果你连数学符号都看不懂，或者似懂非懂，那你就根本不能准确进行数学的运算和推理。

因此，我们认为，要学好数学，还必须掌握和运用好数学语言，过好符号关，这是学习数学的第二个支点。

3、体系的差别（把握数学知识体系，过“链接”关）

数学知识体系与文科存在着这样一些差别：

首先，文科知识，只要求理解其精神实质，而描述则是可以“五花八门”，“各显神通”的。而数学则不然，它有特定的逻辑结构，几乎任何内容都不能修改或替代，即使是细微的偏差，也会导致截然相反的结论，真所谓差之毫厘，失之千里。

其次，文科知识的各方面虽有联系，但却具有相对的独立性，或者说，某个方面的缺陷对其他方面的学习不会造成太大的影响。而数学则不然，它的知识具有超强的连锁性：新知识（定义、定理、公式、法则、原理、性质）都建立在旧知识之上。

比如，什么是矩形，它是“有一角为直角的平行四边形。”如果你不知道什么是平行四边形，那你根本无法掌握矩形及其性质。

再比如，如果你不会作加法，你就永远不会作多位数的乘法。数学的这一特性想必大家是有亲身体会的。比如，由于某种原因，你有一个星期没有来上课，返校后，你发现在文科知识上你与别人没有多大差距，而数学知识却是面目全非了。

第三，解答文科题目，你只要答出了要点，即使出现个别漏洞，也无大碍。比如，你在一篇文章中将称赞别人文采或画技的“神来之笔”写成“神来的笔”（当然，谁也不会这么做，仅仅是一种假设而已），那你这里就不是“神来之笔”，而是一处败笔了。尽管如此，这处败笔对整篇文章虽有影响，但也不至于全盘否定。而数学则不然，解题中某步出错，则后面步步皆非。

正是因为这些特点，数学对人的要求近乎苛刻：大而言之，前后知识的连接不允许出现任何断层；小而言之，定义、定理、公式、法则、原理、性质的理解，不允许出现任何偏差；细而言之，计算或论证的每一个步骤，不允许出现任何差错。

若做不到以上这些，你对数学的把握就只能是支离破碎、一知半解而已。比如有的同学，解答数学问题，总是“一看就会”。这当然好，但遗憾的是，紧接着后面还有一句，那就是“一做就错！”

反之，如果你能做到以上几点，则你炼就了较好的学习基本功及严谨的治学态度，有了这些基本功和这种态度，你不仅可以用它来学数学，学其它学科也就变得轻而易举了。

因此我们说，要学好数学，必须全面、准确把握数学的知识体系，过好链接关，它是学习数学的第三个支点。

二、抓好六个环节（闯六隘）

要学好数学，还需要抓好以下的6个环节。为了避免文章过长，我们这里只列出其要点，不作展开。其中有些内容，将另文讨论。

1、记准知识

强调的是一个"准"字，即不能出现任何偏差 （比如，不要漏掉小括号中对字母范围的约束）。

2、理解本质

所谓本质，就是透过其表现形式，把握其实际含义，包括特征（包含哪些要素）与功能（能起到怎样的作用）。

3、把握思路

所谓"思路"，就是怎样找到解题方法的宏观策略。具体地说，就是如何发掘题目的特征，联想相关知识与方法解决问题。

解题中，什么是最重要的?不是结果，也不是过程，而是思路！

4、学会表达

就是会用简练的数学语言表达自己的思想。表达的最基本要求是把话讲清楚，以便“让别人读懂你的想法”，当然还得遵循数学推理的基本规范。

5、及时总结

总结包括一些三个方面。

学习中的概括（及时整理知识框架，摘录难记或难理解的知识）；

解题后的反思（记录常错的内容，以免再犯。我们知道，人是无法避免犯错的，但愚蠢的是经常犯同样的错误）；

研究中的心得（发现的好方法，也可撰写小论文）。

6、培养习惯

（1） 洁净的习惯。

有人总结了科学家的分子式:C3H3（Clever Head，Climb Hands，Clean Habit），其中就包括养成洁净的习惯，比如书写工整，尽量避免涂改等等。

（2） 动手的习惯。

要边想边写，逐步深入。

（3） 疏通的习惯。

及时解决疑难，可遵循“思考—讨论—请教”的模式。

简言之，以上“6隘”，可用“死、透、活、明、全、实”6个字来概括：

知识是基础，要记死（死）；

理解是前提，要钻透（透）；

思路是关键，要灵活（活）；

表达是根本，要简明（明）；

总结是手段，要全面（全）；

习惯是保证，要落实（实）。

三、掌握三个模式（练三招）

最后，我们还需掌握这样3个模式：数学阅读模式、数学思维模式、数学创造模式，简称为“练三招”。

具体模式见下面的框图，我们也不作展开。

数学问题形式多变，但万变不离其宗，重要的是掌握其精髓。我们归纳的3个模式，目的就是想让大家对数学的精髓有所认识和把握。

从某种意义上看，这些模式虽是一种定式，但重要的是在实际应用中灵活变通。

倘若你对自己数学学习的现状不满意，你也许会问我，现在应该怎样着手？

——从战术上讲，有3点建议：

一是罗列你不懂的或者未记住的定义、定理、公式，设法弄懂它，记住它！

二是你不懂的或者经常弄错的数学符号，多看一些含有这些符号的题目，弄清它的真正含义。

三是认真作好每一道题。如果你不知道该题的解法是怎样得到的，则不仅写清全部解答过程，还要作好下列工作。

（i）先将题中用到的知识、方法列出来；

（ii）再将题目的条件和目标（或结论）列出来；

（iii）最后反复比较两者的特点，并思考这样的问题：如何由题目条件、结论（或目标）找到这些知识？因为你在题目中能够看到的只有题目的条件和结论（或目标），而看不到相关知识。通过反复比较、反复思考，直至有所发现，久而久之，你就会找到由题目特征联想到相关知识的方法了。

——从战略上讲，也有3点建议：

一是调整心态，与数学交朋友。

说到交朋友，大家再熟悉不过了。从幼儿时代就开始交朋友了。还记得吗，有一次，你妈妈给你一些糖果，你舍不得吃，悄悄地带到幼儿园送给你要好的朋友吃。你也许忘不了，那个叫明明的小孩，纸飞机叠得棒极了。还有一个叫亮亮的朋友，小鸟画得可逼真啦，一不留神那小鸟就会飞走。还有那个叫虎虎的小朋友可神气啦，不管什么样的小汽车，也不管你弄出什么毛病，到了他手里，没有修不好的。每当你遇到困难或者碰上什么麻烦事儿，你总是想起你那些朋友，并找他们帮忙解决。

但是，你又可曾知道，在数学的王国里，你也拥有一批朋友，只不过你常常与它们失之交臂。数学是懂得感情的：你不理它，它也就不会理你。但你若喜欢它，它就会亲近你。与数学交朋友的主阵地是课堂，你应将课堂上遇到的每一个知识点当作你结识的一个个新朋友。朋友越多，解决问题的途径就越多，思路也越宽。你就不会把学习新知当作一种负担，而是当作一种收获。学习就不是越来越繁重，而是越来越轻松。

二是画好起跑线，奋起直追。

从今天开始，与昨天告别，重新规划自己的学习与生活，要让人能看出你与昨天截然不同的分界线。

三是多回忆这样一个故事。

杂交水稻之父是谁？——袁隆平。但你是否知道，中学时代的袁隆平曾经数学不及格！当然，后来数学非常优秀！

你是否也想数学非常优秀？我来告诉你秘诀，那就是： “过三关（三个支点）”、“闯六隘（六个环节）”、“练三招（三个模式）”。

当然，学习的进步是不可能一蹴而就的，这些方法能否见效，还得靠你付出艰辛的努力和不懈的坚持。如果它真能对你的学习有所帮助，那便是我的期盼和祝愿。

如果你是学生家长，则你可以将文章直接推荐给小孩阅读。但更好的方法是，在发现小孩学习中出现某个方面的问题时，再有针对性地介绍相关要点，这样更能有效地引起小孩的心理认同。

最后，我想将我曾写的一首小诗送给大家。尽管它不是名言，但也许明天它因为你而变成名言。那是因为，你可能受它的影响而成名成家。这首诗名叫“三句话”。

三句话

什么都可以没有，

因为——

“没有”藴含着追求，

但唯独不能没有信心，

无论什么时候！

什么都可以丢失，

因为——

“丢失”意味着更新，

但唯独不能丢失希望，

无论什么处境！

什么都可以回避，

因为——

“回避”孕育着进攻，

但唯独不能回避吃苦，

无论什么事情！